📚 0010算法笔记 —— 动态规划矩阵连乘问题 🎯

大家好，今天我们要来讨论一个非常经典的动态规划问题：矩阵连乘问题。假设你有n个矩阵 `{A1, A2, ..., An}`，每个矩阵都有不同的维度，比如 `Ai` 的维度是 `p[i-1] x p[i]`。

💡 问题描述

如何计算这n个矩阵的乘积，使得所需的标量乘法次数最少？这个问题在实际应用中非常常见，特别是在图像处理和机器学习等领域。

🔍 动态规划思路

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。首先定义一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从第i个矩阵到第j个矩阵连乘所需的最小乘法次数。通过递归地填充这个数组，我们最终可以得到最优解。

💡 状态转移方程

对于任意的 `i` 和 `j`，`dp[i][j]` 可以通过以下公式进行递推：

```

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]p[k]p[j]) for k in range(i, j)

```

🔄 实现步骤

1. 初始化 `dp` 数组，将对角线元素设为0。

2. 使用两层循环遍历所有可能的子问题，从短链开始逐步扩展到长链。

3. 最后，`dp[1][n]` 就是我们需要的结果。

希望这篇笔记对你有所帮助！如果你有任何疑问或建议，请留言讨论。😊

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